數學家和藝術家都讚嘆不已 神奇圈圈「莫比烏斯環」

by:時穿
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好的,現在拿起一條紙條、左右手各拿著紙條的一端,然後將這個紙條轉半圈(180°)後,再將兩端貼起來——恭喜你將得到一條讓數學家和藝術家讚嘆不已的莫比烏斯環。

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你看過這個形狀嗎?它是莫比烏斯環,一種「只有一個面」和「一條邊」的幾何形狀。點擊這裡可以試玩 3D的莫比烏斯環結構。

Photo: David Benbennick

可以一筆畫完每一面

如果沿著環狀紙條畫一整圈,不論是畫在紙條的外面或裡面,我們都只能畫在其中一個面上;然而,如果此時你的手上有一個莫比烏斯環(Möbius strip或Möbius band),那麼當你從莫比烏斯環的任何一點開始畫線時,你就會發現自己能一筆畫盡莫比烏斯環的每一面。覺得意猶未盡嗎?那現在把你的手放在莫比烏斯環的邊線沿著繞,有沒有發現整個莫比烏斯環的邊線就被你「一手」繞完了呢?

只有一個面和一條邊

換句話說,莫比烏斯環因為可以用一筆畫完每一個面、用一根手指頭繞完整個邊線,讓它在數學上被視為只有一個面和一條邊的立體圖形。

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他是德國數學家暨天文學家莫比烏斯,「莫比烏斯環」就是以他的名稱命名的。

Photo: August Ferdinand Möbius

沒有上/下、內/外之分

莫比烏斯環是由數學家莫比烏斯(August Möbius)在 1858年發現的,當時莫比烏斯正在研究多面體(polyhedra)時,意外發現了這種只有一個面、一條邊的立體幾何形狀,而幫這種形狀取了和自己一樣的名字。

莫比烏斯環只有一個面、一條邊,這讓莫比烏斯環看起來是立體的,但沒有人能夠定義出哪一面是莫比烏斯環的「上面」,哪一面是「下面」,或哪一面是「外面」和「裡面」,因為它只有一個面!

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從這個動畫當中,螃蟹沿著莫比烏斯環的表面上繞完一圈後,還會回到同一個點。但如果仔細觀察螃蟹蟹螯的位置,會發現這隻螃蟹繞完一圈後,蟹螯的位置左右相反。這也是莫比烏斯環其中一個特色——如果沿著表面繞單數圈,其實和原本的位置左右顛倒上下相反,就像在照鏡子。

Photo: Hamishtodd1
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你有看出這個回收標誌,其實是莫比烏斯環的變形嗎?

Photo: Bill Smith

藝術家也感興趣

「莫比烏斯環只有一個面」的性質,除了數學家們很感興趣之外,也吸引了不少藝術家的注意。荷蘭平面設計師艾雪(M.C. Escher)就曾經以莫比烏斯環為題材,創作出《莫比烏斯環一》(Möbius Strip I)和《莫比烏斯環二》(Möbius Strip II)這兩件木刻版畫。

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這就是荷蘭平面設計師艾雪在 1963年創作的《莫比烏斯環二》——莫比烏斯環上的螞蟻們。

Photo: M.C. Escher

這是以荷蘭平面設計師艾雪在 1963年創作的《莫比烏斯環二》為構想,製作而成的動畫。看完影片後,再回去看上面的圖,是不是覺得莫比烏斯環上的螞蟻們很像在動呢?

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這是一個莫比烏斯環,如果我們沿著莫比烏斯環的中線(紅色區域和白色區域交界)剖開後⋯⋯

地球圖輯隊
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就會得到像上圖這樣「在左下和右下角各有 1個圈圈」的 1個紙環,而不會被切成 2個紙環。

地球圖輯隊

如果把莫比烏斯環剪開⋯⋯

莫比烏斯環在幾何上的性質還不止如此。如同最一開始所說的,我們可以拿出一支筆,一筆畫完莫比烏斯環的每一面,那如果換成一把剪刀沿著莫比烏斯環的中線剪開呢?

如果是一般的紙環沿著中線剪開後,我們就會得到 2個一樣大、但寬度比原本還要細的紙環。

但如果是沿著莫比烏斯環中線剪開,這時候我們只會得到 1個長度加倍、寬度變一半的紙環,而且這個紙環還有 2個小圈圈——也就是說,沿著莫比烏斯環的中線剪開後,它仍然是 1個紙環。

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這是另一個莫比烏斯環,這次將莫比烏斯環分成三個區域,中間是白色的,兩端則塗成藍色和綠色。當我們沿著莫比烏斯環白色區域和塗色區域的交界,將莫比烏斯環分成 3等分後⋯⋯

地球圖輯隊
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你看出來了嗎?在剪開前莫比烏斯環中間的白色區域,在剪開之後還是一個完整的莫比烏斯環,而塗色區域就和剛才將一個莫比烏斯環剖成兩半的結果一樣。

地球圖輯隊

進階題:把莫比烏斯環橫切兩刀⋯⋯

沿著莫比烏斯環的中線橫切一刀,我們會得到「帶有 2個小圈圈的 1個紙環」。如果將一個莫比烏斯環「剖腹」橫切兩刀呢?

答案是,你變出一個「帶有 2個小圈圈的 1個紙環」和另 1個紙環套在一起的樣子。也就是說,平常剖腹切兩刀會變成 3個的環形紙條,換成是莫比烏斯環還是會少 1個!

莫比烏斯環也能切貝果

數學家鄭樂雋(Eugenia Cheng)在這支影片中示範了,如果在貝果上切出一個莫比烏斯環,最後得出的貝果不會上下分成兩半。以後如果需要在貝果中間塗上果醬或奶油時,使用這種切法就能讓貝果和果醬(或奶油)夾的密合,就不會滑開囉!


上線日期:2018/11/10
增修日期:2018/11/14  修正內文